Σの公式

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∑k=n(n+1)/2

∑k^2=n(n+1)(2n+1)/6

∑k^3={n(n+1)/2}^2

 

高校生で習う公式で、この程度の公式は正直暗記がマストです。

ただ、これを証明せよという問題が過去の大学入試で出ています（九州大学など）。

考え方のコツがわかれば色々と応用が利きますので、ご紹介します。

 

まず、∑kです。

∑k=1+2+3+・・・+n　：①

 

これは、以下のようにも表せます。（①をひっくり返しただけ）

∑k=n+(n-1)+(n-2)+・・・+1　：②

 

 ①と②を足すと、

2∑k=n(n+1)

 

のため、

∑k=n(n+1)/2

 

1つ目のコツ。「ひっくり返す」でした。

 

 続いて、∑k^2です。

∑k^2=1^2+2^2+3^2+・・・+n^2　：③

 

これは、ひっくり返してもうまくいきそうにないですね。

こういう時は、ズラすとうまくいくことがあります。

∑(k+1)^2=2^2+3^2+・・・+n^2+(n+1)^2　：④

 

④から③を引くと、

 

左辺は、

{∑(k+1)^2}-{∑k^2}=∑{(k^2+2k+1)-k^2}=∑(2k+1)

 

右辺は、

(n+1)^2-1^2

となります。

 

ん？左辺から、∑k^2が消えましたね。

これでアプローチのポイントがわかったと思います。

∑k^2で1ズラして試すと、∑k^2が消える。

では、∑k^3で1ズラすと∑k^3が消えて、うまくいくのでは？ということです。

 

∑k^3=1^3+2^3+3^3+・・・+n^3　：⑤

∑(k+1)^3=2^3+3^3+・・・+n^3+(n+1)^3　：⑥

 

⑥から⑤を引くと、

 

左辺は、

{∑(k+1)^3}-{∑k^3}=∑{(k^3+3k^2+3k+1)-k^3}=∑(3k^2+3k+1)=(3∑k^2)+(3∑k)+n

 

∑k=n(n+1)/2のため、

 

(3∑k^2)+{3n(n+1)/2}+n　：⑦

 

 

右辺は、

(n+1)^3-1^3=n^3+3n^2+3n　：⑧

となります。

 

⑦と⑧は同じなので、

(3∑k^2)+{3n(n+1)/2}+n-(n^3+3n^2+3n)=0

 

これを整理し、

(3∑k^2)

=(n^3+3n^2+3n)-{(3n^2)/2}-(5n/2)

=n^3+(3n^2)/2+n/2

=n(2n^2+3n+1)/2

=n(n+1)(2n+1)/2

 

よって、

 

∑k^2=n(n+1)(2n+1)/6

 

が示せます。少し変則的ですが、2つ目のコツ。「ズラす」でした。

 

 

 ∑k^3もアプローチは同じです。∑k^4の1個ズラしで差をとります。

 

書き疲れました・・・ここまででやり方は理解できたと思いますのであとは皆さん自力でやってみてください笑