モンティ・ホール問題
問題
3個の扉がある。1個は正解。2個は不正解。
挑戦者は3個の中から1つ扉を選ぶ。
司会者(モンティ・ホール)は答えを知っており、残り2個の扉の中から不正解の扉を1個選んで開ける。
ここで司会者が挑戦者に尋ねる。「あなたは最初に選んだ扉をそのまま選んでもよいし、扉を変えてもよい。どうしますか?」
このとき扉を最初に選んでいたものから変えるべきか?変えないべきか?もしくは変えても変えなくても一緒か?(上記のルールについては、司会者も挑戦者も理解している)
答え
変えるべき
モンティ・ホールが司会者を務める番組で出題され、数学者をも巻き込んだ大論争を生んだ問題です。感覚だけだと間違える人が多数と思いますし、私も初見時に引っかかりました。したがって、自身も納得がいくように考え、解説を作ってみました。
では、解説です。よく間違えるのが、以下の考え方です。
不正解の扉がなくなり、残り2個のうち1個が正解なので、変えても変えなくてもシンプルに1/2の確率で正解となる。
しかし、これは正しくありません。
今回の「ミソ」は「司会者が事前に答えを知っており、また挑戦者が選択した扉もその場で確認できていた」「挑戦者の最初の選択が正解であろうが不正解であろうが、残りの扉から不正解の扉を選んでいた」という、この2つの条件があったことです。
これが非常に重要なポイントだったのです。ちなみに、仮に「司会者が何も知らずにたまたま選んだ扉が不正解だった」場合には、確かに確率は1/2となります。
今回のケースでは変えた方が確率が上がるということがわかるように、説明していきます。
まずは、【変えなかった場合】です。
【変えなかった場合】
最初に不正解の扉は2個あることから、以下から、最終的な正解確率は、1/3となることがわかります。
当初選択 ⇒ 最終選択
正解 ⇒ 正解
不正解 ⇒ 不正解
不正解 ⇒ 不正解
次に、【変えた場合】です。
【変えた場合】
以下から、最終的な正解確率は、2/3となることがわかります。
当初選択 ⇒ 最終選択
正解 ⇒ 不正解
不正解 ⇒ 正解
不正解 ⇒ 正解
わかりましたか?
これでもわからないという方は、更に具体的に考えてみましょう。
扉をA,B,Cとし、正解がAの扉であるとします。
【当初選んだ扉を変えないで最終的に正解になる確率】
最初にAを選ぶ必要がありますので、1/3
【当初選んだ扉を変えて最終的に正解になる確率】
最初にBまたはCを選ぶ必要がありますので、2/3
どうですか?少しわかりやすくなりましたかね??
それでは、最後に応用問題です。
扉を100に増やしてみました。
100個の扉がある。1個は正解。99個は不正解。
挑戦者は100個の中から1つ扉を選ぶ。
司会者(モンティ・ホール)は答えを知っており、残り99個の扉の中から不正解の扉を1個選んで開ける。
ここで司会者が挑戦者に尋ねる。「あなたは最初に選んだ扉をそのまま選んでもよいし、扉を変えてもよい。どうしますか?」
このとき扉を最初に選んでいたものから変えるべきか?変えないべきか?もしくは変えても変えなくても一緒か?(上記のルールについては、司会者も挑戦者も理解している)
答えは「変えるべき」です。
【当初選んだ扉を変えないで最終的に正解になる確率】
1/100
【当初選んだ扉を変えて最終的に正解になる確率】
最初に正解以外を選び、その後、(最初に選んだ扉と司会者が選ぶ扉の2枚を除く98枚の中から)正解の扉を選ぶ必要がありますので、
99/100×1/98=99/9800
1/100=98/9800<99/9800ですので、
扉を変えた方がわずかに確率が高くなります。
こう考えると、この類の問題が出た場合は、一般化できますね。
扉がn枚(n≧3)とすると、「変えた場合が変えない場合よりも1/n(n-2)高い確率で当たる」。
証明問題として出しても面白いかもですね。
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