モンティ・ホール問題

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変えるべき

 

モンティ・ホールが司会者を務める番組で出題され、数学者をも巻き込んだ大論争を生んだ問題です。感覚だけだと間違える人が多数と思いますし、私も初見時に引っかかりました。したがって、自身も納得がいくように考え、解説を作ってみました。

 

では、解説です。よく間違えるのが、以下の考え方です。

 

不正解の扉がなくなり、残り2個のうち1個が正解なので、変えても変えなくてもシンプルに1/2の確率で正解となる。

 

 

しかし、これは正しくありません。

 

今回の「ミソ」は「司会者が事前に答えを知っており、また挑戦者が選択した扉もその場で確認できていた」「挑戦者の最初の選択が正解であろうが不正解であろうが、残りの扉から不正解の扉を選んでいた」という、この2つの条件があったことです。

これが非常に重要なポイントだったのです。ちなみに、仮に「司会者が何も知らずにたまたま選んだ扉が不正解だった」場合には、確かに確率は1/2となります。

 

今回のケースでは変えた方が確率が上がるということがわかるように、説明していきます。

 

まずは、【変えなかった場合】です。

 

【変えなかった場合】

最初に不正解の扉は2個あることから、以下から、最終的な正解確率は、1/3となることがわかります。

 

当初選択　⇒　最終選択

　　正解　⇒　　　正解

　不正解　⇒　　不正解

　不正解　⇒　　不正解　　　　　

 

次に、【変えた場合】です。

 

【変えた場合】

以下から、最終的な正解確率は、2/3となることがわかります。

 

当初選択　⇒　最終選択

　　正解　⇒　　不正解

　不正解　⇒　　　正解

　不正解　⇒　　　正解　　　　　

 

 

わかりましたか？

 

これでもわからないという方は、更に具体的に考えてみましょう。

扉をA,B,Cとし、正解がAの扉であるとします。

 

【当初選んだ扉を変えないで最終的に正解になる確率】

最初にAを選ぶ必要がありますので、1/3

 

【当初選んだ扉を変えて最終的に正解になる確率】

最初にBまたはCを選ぶ必要がありますので、2/3

 

 

どうですか？少しわかりやすくなりましたかね？？

 

それでは、最後に応用問題です。

扉を100に増やしてみました。

 

100個の扉がある。1個は正解。99個は不正解。

挑戦者は100個の中から1つ扉を選ぶ。

司会者（モンティ・ホール）は答えを知っており、残り99個の扉の中から不正解の扉を1個選んで開ける。

ここで司会者が挑戦者に尋ねる。「あなたは最初に選んだ扉をそのまま選んでもよいし、扉を変えてもよい。どうしますか？」

このとき扉を最初に選んでいたものから変えるべきか？変えないべきか？もしくは変えても変えなくても一緒か？（上記のルールについては、司会者も挑戦者も理解している）

 

答えは「変えるべき」です。

 

【当初選んだ扉を変えないで最終的に正解になる確率】

1/100

 

【当初選んだ扉を変えて最終的に正解になる確率】

最初に正解以外を選び、その後、（最初に選んだ扉と司会者が選ぶ扉の2枚を除く98枚の中から）正解の扉を選ぶ必要がありますので、

99/100×1/98=99/9800

 

1/100=98/9800<99/9800ですので、

扉を変えた方がわずかに確率が高くなります。

 

こう考えると、この類の問題が出た場合は、一般化できますね。

扉がn枚（n≧3）とすると、「変えた場合が変えない場合よりも1/n(n-2)高い確率で当たる」。

証明問題として出しても面白いかもですね。