タクシー数

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12^3+1^3

 

インドの天才数学者であるラマヌジャンが、あるタクシーのナンバーに書かれていた数字を見て、「これは2つの3乗数の和として2通りに表すことができる最小の自然数である」と言ったことがきっかけで、タクシー数と呼ばれています。その数字が1729です。

 

どのようにして、そのようなことが瞬時に判断できるのかというのは、数学者でさえも意味不明な次元のようです。

 

今回は、そのタクシー数1729が最初にわかっていたとして、どうやって立法数の和を探すかという問題を作ってみました。

 

では、解説です。

  

一瞬で閃くといった天才の方を除くと、以下のようにアプローチするとよいと思います。

 

1729は平方数の和であり、a^3+b^3（ただし、a≧b）としたときに、

取り得る最大のaはどこまで見ればよいかということです。

 

10^3=1000

11^3=1331

12^3=1728

13^3=2197

 

となることから、a=12までを見ればよいですね。

そして、早速、12^3=1728ですので、あとは1^3=1を足すと、1729ですね。

 

簡単にペアが見つかりましたね。答えは、12^3+1^3です。

 

 

なお、タクシー数は、過去に一橋大学の入学試験でも出題されたようです。

 

「2以上の整数m,nは、m^3+1^3=n^3+10^3を満たす。m,nを求めよ。」

 

という問題です。ラマヌジャンのタクシー数を知っていれば一瞬ですが、大学入試ですので、答えだけ合っていてもダメだと思います。さすがに「ラマヌジャンのタクシー数より、m=12,n=9」では済まないでしょう笑

 

こういうときの王道は、左辺-右辺=0ですかね。これを変形させて、

 

m^3-n^3=10^3-1^3

(m-n)(m^2+mn+n^2)=9*111=3^3*37

 

m,nは整数のため（ただし、m≧2,n≧2かつm≧nとする）、m-nは、999の因数の一つで表される。

m-n≧9とすると、n≧2のため、m≧11となる。

m^2≧121となることから、(m-n)(m^2+mn+n^2)は999を超過し、不適。

 

したがって、m-n=1とm-n=3の2パターンの検証を行う。

 

【m-n=1の時】

(n+1)^2+(n+1)n+n^2=999

n^2+2n+1+n^2+n+n^2=3n^2+3n+1=999

 

これを変形すると、3(n^2)=998となるが、右辺の998は3を約数に持たないため矛盾。

 

【m-n=3の時】

3{(n+3)^2+(n+3)n+n^2}=999

3(n^2+6n+9+n^2+3n+n^2)=3(3n^2+9n+9)=999

 

これを変形すると、n^2+3n-108=(n+12)(n-9)=0

n≧2のため、n=9。したがって、m=9+3=12

 

模範解答とは少し違うかもしれませんが、私ならこんな感じで解きます。