タクシー数
問題
1729は、10^3+9^3と2つの立法数の和で示されるが、もう1組の2つの立法数の和でも示される。その組合せを示せ。
答え
12^3+1^3
インドの天才数学者であるラマヌジャンが、あるタクシーのナンバーに書かれていた数字を見て、「これは2つの3乗数の和として2通りに表すことができる最小の自然数である」と言ったことがきっかけで、タクシー数と呼ばれています。その数字が1729です。
どのようにして、そのようなことが瞬時に判断できるのかというのは、数学者でさえも意味不明な次元のようです。
今回は、そのタクシー数1729が最初にわかっていたとして、どうやって立法数の和を探すかという問題を作ってみました。
では、解説です。
一瞬で閃くといった天才の方を除くと、以下のようにアプローチするとよいと思います。
1729は平方数の和であり、a^3+b^3(ただし、a≧b)としたときに、
取り得る最大のaはどこまで見ればよいかということです。
10^3=1000
11^3=1331
12^3=1728
13^3=2197
となることから、a=12までを見ればよいですね。
そして、早速、12^3=1728ですので、あとは1^3=1を足すと、1729ですね。
簡単にペアが見つかりましたね。答えは、12^3+1^3です。
なお、タクシー数は、過去に一橋大学の入学試験でも出題されたようです。
「2以上の整数m,nは、m^3+1^3=n^3+10^3を満たす。m,nを求めよ。」
という問題です。ラマヌジャンのタクシー数を知っていれば一瞬ですが、大学入試ですので、答えだけ合っていてもダメだと思います。さすがに「ラマヌジャンのタクシー数より、m=12,n=9」では済まないでしょう笑
こういうときの王道は、左辺-右辺=0ですかね。これを変形させて、
m^3-n^3=10^3-1^3
(m-n)(m^2+mn+n^2)=9*111=3^3*37
m,nは整数のため(ただし、m≧2,n≧2かつm≧nとする)、m-nは、999の因数の一つで表される。
m-n≧9とすると、n≧2のため、m≧11となる。
m^2≧121となることから、(m-n)(m^2+mn+n^2)は999を超過し、不適。
したがって、m-n=1とm-n=3の2パターンの検証を行う。
【m-n=1の時】
(n+1)^2+(n+1)n+n^2=999
n^2+2n+1+n^2+n+n^2=3n^2+3n+1=999
これを変形すると、3(n^2)=998となるが、右辺の998は3を約数に持たないため矛盾。
【m-n=3の時】
3{(n+3)^2+(n+3)n+n^2}=999
3(n^2+6n+9+n^2+3n+n^2)=3(3n^2+9n+9)=999
これを変形すると、n^2+3n-108=(n+12)(n-9)=0
n≧2のため、n=9。したがって、m=9+3=12
模範解答とは少し違うかもしれませんが、私ならこんな感じで解きます。
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