トイレットペーパーの長さ

▼ クリックで展開

1600πcm（約50ｍ）

 

色々な解き方ができる面白い問題です。

 

小学生でも理解できる解法として、私がエレガントと感じたものは以下のとおりです。

 

トイレットペーパーを引き伸ばすと、縦0.02cmの長方形となります。

この長さをLcmとすると、この長方形の面積は、0.02L㎠となります。

 

この面積が何と等しいかというと、ロールに巻かれた紙の部分の面積です。

これは、半径6cmの円から半径2cmの円の面積を除いた部分ですので、

π(6*6-2*2)=32π

と表されます。

 

よって、

 

0.02L=32π

　　L=1600π (cm)

 

となります。16πmですので、約50ｍですね。

積分の考え方にもつながるエレガントな解法ですね。

 

ちなみに私は、最初はこのようなエレガントな解法が思い浮かばず、力ずくで解きました。

厚さのある紙ですので、芯に密着する1巻き目のペーパーの長さは、厳密に半径2.02㎝の円周という訳にはいきません。したがって、半径2cmの円周と2.02㎝の円周の平均値2.01㎝を1巻き目のペーパーの長さとします。

 

同様に2巻き目、3巻き目と足して、最後の巻きが半径5.99㎝の円周となるように、円周の長さを足し合わせていきます。

すると、以下のように表せます。

2π(2.01+2.03+2.05+2.07+ ･･･+5.99)

 

(2.01+2.03+2.05+2.07+ ･･･+5.99)の部分は、初項2.01、公差0.02、末項5.99の等差数列です。

項数は、1+(5.99-2.01)/0.02=200　ですので、

(2.01+5.99)*200/2=800

となります。

よって、

2π(2.01+2.03+2.05+2.07+ ･･･+5.99)=1600π(cm)

 

以上が、数列で無理矢理解いたパターンでした。

 

このほか、平均値を使うという方法もあるようです。

半径6㎝の円と半径2cmの円の円周の平均値は、(12π+4π)/2=8π

巻き数は、(6-2)/0.02=200巻き

したがって、8π*200=1600π

 

色々な解き方があって面白いですね。