場合の数(中学入試良問:開成中学2022改)
問題
4人がサイコロを1回ずつふるとき、目の出方は全部で6×6×6×6=1296通りある。
この中で、4つの出た目の数をすべてかけると4の倍数になる目の出方は何通りあるか。
答え
999通り
開成中学で2022年に出題された問題です。文章を若干変えたため「改」としています。余事象のアプローチでないと大変かなと思います。中学入試の問題ですが、高校1年生の定期テストでも出そうなレベルの良問です。これを小学生が解くのはすごいですね。さすが開成の受験生!
では、解説です。
4つの数字の出た目の積が4の倍数となるには、4つの出た目の数の中で偶数が2つ以上、もしくは誰か1人以上が4を出す必要があります。
ただ、これでは場合分けが大変です。したがって、全体から4の倍数とならないケースを引くというアプローチが望ましいです。
4の倍数とならないのは、①全て奇数、②2が1人だけで残りは奇数、③6が一人だけで残りが奇数 というパターンです。
ここまでできればあとは簡単です。
①全て奇数
全員が1,3,5のどれかを出すので
3C1×3C1×3C1×3C1=3^4 :①
=81通り
②2が1人だけで残りは奇数
1人が2、残りの3人は1,3,5のどれかを出すので
4C1×3C1×3C1×3C1=4×3^3 :①
=108通り
③6が1人だけで残りは奇数
1人が6、残りの3人は1,3,5のどれかを出すので
4C1×3C1×3C1×3C1=4×3^3 :①
=108通り
よって、1296-(81+108+108)=999通り
③を忘れないようにするのが、この問題で注意しないければいけないポイントですね。
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